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空の真法 自然数のグリッド・マトリクス 

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空の真法 ディヴァインガーディアン情報 
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自然数のグリッド・マトリクス
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2012年07月04日23:30
■自然数のグリッド・マトリクス

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7、 8、 ​​9、10、11、12、13、 14、 15、16、・・・自然数の数列 コンティニウム
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …フィボナッチ数列 モナド
0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81,149, 274, 504, 927, 1705, 3136,・トリボナッチ数列 ソウル
0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872…テトラナッチ数列 エルダ

■パラレル・コンティニウム

★第1コンティニウム、1モナド、0ソウル、0エルダ
★第2コンティニウム、1モナド、1ソウル、0エルダ
1は0 を除いて最小の自然数であり、自然数のうちで最小の奇数でもある。任意の数 a に 1 を掛けても a のままであるので、1 は乗法に関する単位元と呼ばれる。この性質より、1 は 1 自身の階乗であり、自乗であり、より一般の累乗でもある。0 以外の任意の数の0乗は 1 である。
x × 1 = 1 × x = x
x/1 = x
x^1 = x, 1^x = 1
0! = 1! = 1, x^0 = 1 (x ≠ 0)
1 は、0 の次で 2 の前の整数であり、整数、実数、複素数における乗法の単位元である。実数の十進小数展開として、1 は 1.000... と 0.999... の2つの表現を持つ。
原子番号 1 の元素は水素 (H) である。
太陽系第1惑星は水星であり、太陽に近い順に数えて1番目の惑星である。
全ての項が 1 である数列の母関数は次で与えられる。

この級数は | x | < 1 のとき、またそのときに限り収束して有限の値をとる。
1 は、あらゆる種類の図形数、例えば三角数、五角数、中心つき六角数の最初の数である。フィボナッチ数列の最初の数かつ2番目の数でもあり、
古代エジプトでは、2/3 と 3/4 は別格として、一般の分数を、分子が 1 で分母が異なるいくつかの分数の和として表した。例えば、2/5 = 1/3 + 1/15 などである。分子が 1 の分数、あるいはそれらの和で表す形式は、単位分数またはエジプト式分数と呼ばれる。
1 は位取り記数法の底に用いることができない。画線法は底1の記数法(一進法)と言われることがあるが、これは位取り記数法ではない。また、関数 1x は常に 1 に等しく逆関数を持たないため、底 1 の対数は定義できない。
1 は、ちょうど1個の正の整数で割り切れる唯一の正整数である(素数はちょうど2つの正の整数で割り切れ、合成数は3個以上の正の整数で割り切れ、0 はすべての正の整数で割り切れる)。過去には、素数の定義として「1 と自分自身で割り切れる整数」を採用することにより、1 を素数と見なす数学者もいた。1 を素数と公言した最後の数学の専門家は、1899年のアンリ・ルベーグである。現代では、1 は素数でも合成数でもなく、-1 やガウス整数における i および -i などと同じく単数であるとされる。

★第3コンティニウム、2モナド、1ソウル、0エルダ
2は最小の素数。偶数中、唯一の素数。次の素数は 3。
素数では唯一の高度合成数。1つ前は 1、次は 4。また、高度合成数のうち不足数であるのは 2 と 4 のみ。
2番目の高度トーティエント数。1つ前は1、次は 4。
2 の倍数を偶数といい、偶数は「半分にしても整数である」性質を持つ。
2 の冪乗の基数で、2^1。次は 4。
3番目のフィボナッチ数。1つ前は 1、次は 3。
最小の矩形数。次は 6。フィボナッチ数のうち矩形数でもある数は 2 のみである。
2番目のベル数である。1つ前は 1、次は 5。
2番目のカタラン数である。1つ前は 1、次は 5。
最小のソフィー・ジェルマン素数。次は 3。
2番目のレピュニット R2 = 11 は素数となる最初のレピュニットである。次に素数となるのは R19。
nn + 1 の形で表せる最小の素数である。すなわち 1^1 + 1 である。
コンピュータの演算には二進法が使われる。これは、「0 と 1」(色で言えば「白と黒」)の2系統だけを用いることに因む。
線(直線・曲線共に)は、2個の点で初めて形成される。1本線だけの角度は直径の角度に当たり、180°となる。(360 ÷ 2 = 180)
2! + 1 = 3 となり、n! + 1 の形で素数を生む。
2^2 + 1 = 5 となり、n^2 + 1 の形で素数を生む。1の位が2である数を2乗して1加えた数は5の倍数になるので一般には素数にならない。 例: 12^2 + 1 = 145 = 5 × 29, 22^2 + 1 = 485 = 5 × 97
2^2 - 1 = 3 となり、n^2 - 1 の形で素数を生む。一般に n^2 - 1 = (n + 1)(n - 1) であるので n^2 - 1 は素数にならない。
例: 5^2 - 1 = 24 = 6 × 4 , 8^2 - 1 = 63 = 9 × 7
1/2=0.5。自然数の逆数が小数点以下1桁の有限小数になるのは他に 1/5 = 0.2, 1/10 = 0.1 のみ。
任意の数値 x について次の式が当てはまる。
x + x = 2x
x × x = x^2
完全数の約数(自身含む)の逆数の和は2となる。
√2 = 1.4142135623730950488016887242097... は日本語の語呂合わせで
ひとよひとよにひとみごろにみなさんおくこまるし… といった覚え方が存在する。
√2 ≒ 239/169 = 1.414201... これは 239^2 = 2 × 169^2 - 1 の - 1 の項を無視して変形したもの。
√2 - 1 = 1/(√2 + 1) となる。逆に √2 + 1 = 1/(√2 - 1) ともなる。
九九では 1 の段で 1 × 2 = 2 (いんにがに)、 2 の段で 2 × 1 = 2 (にいちがに)と2通りの表し方がある。九九で2通りの表し方がある整数のうち最小の数である。
2! = 2 である。
2 の累乗値 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 ・・・
2は、核物理学において、8、20、28、50、82、126と共に、原子核中の陽子、もしくは、中性子の数がこれらの数である場合、その原子核は安定しやすくなる、魔法数の1つとして知られている。
整数において、2で割り切るものは偶数とする。
原子番号 2 の元素はヘリウム(He)である。
太陽系第2惑星は金星である。太陽に近い順に数えて2番目の惑星でもある。
小惑星番号2番の小惑星はパラスである。

★第4コンティニウム、3モナド、2ソウル、1エルダ
3は2番目の素数である。1つ前は2、次は5。3 = 2^2 - 1 のためメルセンヌ素数であり、2! + 1 でもある。
2^3 - 1 = 7 は2番目のメルセンヌ素数である。
最小のフェルマー素数である。3 = 2^1 + 1。 次は5。
n がフェルマー素数ならば正n角形をコンパスと定規だけで作図できる。3はフェルマー素数なので正三角形もコンパスと定規だけで作図できる。n が 2 の累乗数の場合や 2 の累乗数と複数個のフェルマー素数(互いに異なる)の積であっても成り立つ。
4番目のフィボナッチ数である。1つ前は2、次は5。
2番目のリュカ数である。1つ前は1、次は4。
2番目の三角数である。3 = 1 + 2。1つ前は1、次は6。
最小の完全トーティエント数である。次は9。
5 との組 (3, 5) は1番目の双子素数。次は (5, 7)。また (3, 5, 7)は唯一の三つ子素数。
2番目のソフィー・ジェルマン素数である。1つ前は2、次は5。
最小の8n+3型の素数であり、この類の素数はx^2+2y^2と表せるが、3=1^2+2×1^2である。次は11。
1/3 = 0.3333…(下線部は循環節)
3! - 1 = 5 となり、n! - 1 の形で素数を生む。
3! + 1 = 7 となり、n! + 1 の形で素数を生む。n!±1がどちらも素数になる最小の数である。
3 は 3 倍するとちょうど 9 になるので、十進数では、分母に 3 を持つ既約分数を小数で表すと同じ数字が連続する循環小数になる。
自然数は、その各位に出てくる数字の和が 3 の倍数になっている時のみ、3 で割り切ることができる。
例:195 の各位の数字の和は 1 + 9 + 5 = 15 で 3 の倍数となるので、195 は 3 で割り切れる。また各桁の数字を入れ替えても各位の数字の和は変わらないので 159, 519, 591, 915, 951 も全て 3 の倍数である。
1.5を加えても乗じても4.5となる数である。
平面図形は、3個の点を以って初めて形成される。3 つの頂点と辺を持つ平面図形を三角形という。正三角形においては、重心と頂点を結ぶ3本の線分の間隔(中心角)と、外角の大きさは120°となる。(360÷3 = 120)
三角法は、直角三角形の各辺と角の大きさの関係を体系化したもので、それから三角関数が派生した。また、主に用いられる三角関数はsin、cos、tanの3種類である。
整数の中で最も円周率に近い。旧約聖書中では、円周率を 3 として扱っている。(円柱の直径と周長の比が 1:3 という記述がある)
ネイピア数についても整数の中で最も近い。情報理論ではこのことから、コンピュータは2値理論ではなく3値論理に基づいて設計したほうが効率的だという説がある(あくまで理論上の話で、あまり現実的ではない)。
√3 = 1.7320508075・・・ の覚え方
「人並みにおごれやおなご(女子)」
3 を含むピタゴラス数
3^2 + 4^2 = 5^2
ピタゴラス数である3数のうち少なくとも1つは3の倍数である。
九九では1の段で 1 × 3 = 3 (いんさんがさん)、3の段で 3 × 1 = 3 (さんいちがさん)と2通りの表し方がある。
3! = 6 である。
3 の累乗値 9 27 81 243 729 2187 ・・・
原子番号 3 の元素はリチウム(Li)である。
太陽系第3惑星は地球である。太陽に近い順に数えて3番目の惑星でもある。
小惑星番号3番の小惑星はジュノーである。

★第5コンティニウム、5モナド、4ソウル、1エルダ
5は3番目の素数である。1つ前は3、次は7。5 = 2^2 + 1 なのでフェルマー素数(2番目)でもある。また n! - 1 の形 (3! - 1) にもなっている。
1/5 = 0.2。自然数の逆数が小数点以下1桁の有限小数になるのは他に 1/2 = 0.5, 1/10 = 0.1 のみ。
5 は 10 の約数となるため、他の多くの数と異なり、十進数の演算を行う限り 5 を分母とする除算の商が循環小数になる事は無い。
十進数とは対照的に、十二進数の演算では、十二(10)は 5 で割り切れない。10÷5 = 2.497…となる。
n ≥ 5 の時、対称群 Sn は可解ではない。
5次以上の方程式には、有限回の四則演算と根号とによって解を求めることができないものがある。これは上の事実と関係がある。
5番目のフィボナッチ数である。1つ前は3、次は8。
2番目の五角数である。5 = 2 × (3 × 2 - 1)/2。1つ前は1、次は12。
2番目の五胞体数である。1つ前は1、次は15。
2番目の四角錐数である。1つ前は1、次は14。
3番目のペル数である。1つ前は2、次は12。
3番目のカタラン数である。1つ前は2、次は14。
3番目の交互階乗である。 5 = 3! - 2! + 1!。1つ前は1、次は19。
3 と 5、5 と7 はそれぞれ1番目、2番目の双子素数。次は(11, 13)。また(3, 5, 7)は唯一の三つ子素数。
3番目のソフィー・ジェルマン素数。1つ前は3、次は11。
最小の安全素数。次は7。
2^5 - 1 = 31 は3番目のメルセンヌ素数である。
5! - 1 = 119 = 7 × 17 であり、また、5! + 1 = 121 = 11^2 であり、共に合成数である。
n , n + 2, n + 6, n + 8 が全て素数となる初めての素数。すなわち (5, 7, 11, 13) が全て素数。 四つ子素数ともいう。次は (11, 13, 17, 19)。
5 を含むピタゴラス数
3^2 + 4^2 = 5^2
5^2 + 12^2 = 13^2
ピタゴラス数である3数のうち少なくとも1つは5の倍数である。
全ての自然数は負を含めると5つの3乗数の和で表せる。
九九では 1 の段で 1 × 5 = 5 (いんごがご)、5 の段で 5 × 1 = 5 (ごいちがご)と2通りの表し方がある。
5! = 120 である。
(5, 6)の組は最小のルース=アーロン・ペアである。次に小さい組は(8, 9)。
5 は、連続した素数の和(2+3)で表すことのできる素数である。
5 = (2φ - 1)^2
4ビット表記において 5 = (0101)2 と0,1が交互になる。
原子番号5 の元素は、ホウ素(B)。
地球上で、質量数1~4の原子核には安定核種も存在するが、質量数5の安定核種は存在しない。以降、質量数8、147、151、そして209以上の全てに地球上での安定核種が存在しない。
太陽系第5惑星は、木星。
小惑星番号5番の小惑星はアストラエアである。

★第6コンティニウム、8モナド、7ソウル、2エルダ
8は合成数であり、約数は 1、2、4 と 8 である。
約数( 8 を除く)の和は 7 である。このため不足数であり、概完全数である。
6 番目のフィボナッチ数である。1つ前は 5、次は13。合成数のフィボナッチ数の中では最小の数である。また立方数のフィボナッチ数は8のほかには1しかないといわれている。
3乗した数の各桁の数の和が元の数になる数である。つまり、8^3 = 512, 5 + 1 + 2 = 8。
このような数は6個あり、1、8、17、18、26、27。
8は立方数であり、かつ 2の累乗数でもある(2^3)。次の立方数は27(1つ前は1)、次の2の累乗数は16(1つ前は4)。
8は平方数より1小さい唯一の立方数である。また累乗数より1小さい唯一の累乗数である(→カタラン予想)。
(8,9) の組は2番目のルース=アーロン・ペアである。一つ前は(5,6) 、次は(15,16)。
4番目の高度トーティエント数である。一つ前は4、次は12。
8つの面を持つ立体は八面体と呼ばれる。正八面体は、正六面体の次に面の数が少ない正多面体である。次に面数が少ない正多面体は、正十二面体である。
8つの立体をもつ多胞体は八胞体とよばれる。正八胞体は正五胞体の次に立体の数が少ない正多胞体である。正n面体と(四次元での)正n胞体の両方が存在する n は8のみである。
三角数の8倍は平方数より1小さい数である。 8×n(n+1)/2=4n^2+4n=(2n+1)^2-1であるため。( n は自然数)
例:10×8 = 80 = 9^2-1, 210×8 = 1680 = 41^2-1
8 を含むピタゴラス数
6^2 + 8^2 = 10^2
8^2 + 15^2 = 17^2
九九では 1 の段で 1 × 8 = 8 (いんはちがはち)、2 の段で 2 × 4 = 8 (にしがはち)、4 の段で 4 × 2 = 8 (しにがはち)、8 の段で 8 × 1 = 8 (はちいちがはち)と4通りの表し方がある。
8! = 40320 である。
コンピューターにおいて、8ビットは一般に1バイトのことを指す。
原子番号8の元素は、酸素(O)。
8は、核物理学において、2、20、28、50、82、126と共に、原子核中の陽子、もしくは、中性子の数がこれらの数である場合、その原子核は安定しやすくなる、魔法数の1つとして知られている。
地球上で、質量数8の原子核に安定核種は存在しない。他、質量数5、147、151、そして209以上の全てに地球上での安定核種が存在しない。
太陽系第8惑星は、海王星。
小惑星番号8番の小惑星はフローラである。

★第7コンティニウム、13モナド、13ソウル、4エルダ
13は6番目の素数である。1つ前は11、次は17。
11 とペアの (11, 13) は3番目の双子素数。1つ前は (5, 7)、次は (17, 19)。
(5, 7, 11, 13) の4数の組は最初の四つ子素数。また (11, 13, 17, 19) の4数の組は2番目の四つ子素数。次は (101, 103, 107, 109)。
2^13 - 1 = 8191 は5番目のメルセンヌ素数である。一般に 2n - 1 が素数であるためには n も素数でなければならない。
7番目のフィボナッチ数である。1つ前は8、次は21。
6番目のトリボナッチ数である。1つ前は7、次は24。
13# + 1 = 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 + 1 = 30031 = 59 × 509 であり、n# + 1 の形で合成数を生む最小の n である(n# は素数階乗、つまり n 以下の素数の総乗)。
1/13 = 0. 076923 076923 076923 ... である(下線部は循環節)。
13は10進数表記において桁を入れ替えても素数となる、最小のエマープである。13⇔31。
13^2 = 169, 961 = 31^2
13! = 6227020800 である。
第13族元素をホウ素族元素という。
原子番号13の元素は、アルミニウム (Al)。
小惑星番号13番の小惑星はエゲリアである。

★第8コンティニウム、21モナド、24ソウル、8エルダ
21は合成数であり、約数は 1、3、7 と 21 である。
1/21 = 0.0476190…(下線部は循環節でその長さは 6 )
6番目の三角数である。つまり、21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 であり、サイコロの目の総和と等しい。1つ前は15、次は28。
3番目の八角数であり、3*(3*3 - 2) = 21。1つ前は 8、次は 40。
8番目のフィボナッチ数の要素。1つ前は 13、次は 34。
7番目の半素数で、1つ前は15、次は22。
508853989^2 = 258932382121212121
九九では 3 の段で 3 × 7 = 21 (さんしちにじゅういち)、7 の段で 7 × 3 = 21 (しちさんにじゅういち)と2通りの表し方がある。
21! = 51090942171709440000 である(20桁)。
ルジンの問題の最小の解は21個である。
原子番号21の元素はスカンジウム(Sc)で、遷移元素の中では原子番号が最小。
21cm線は、周波数1420.40575MHzの電波であり、中性水素原子のエネルギー状態の変化によって放射されるスペクトル線のこと。

★第9コンティニウム、34モナド、44ソウル、15エルダ
34は合成数であり、約数は 1, 2, 17, 34 である。
12番目の半素数である。1つ前は33、次は35。
1/34 = 0.02941176470588235…(下線部は循環節でその長さは16 )
9番目のフィボナッチ数である。1つ前は 21、次は 55。偶数の半素数かつフィボナッチ数である唯一の数である。
4番目の七角数である。4(5 * 4 - 3) / 2 = 34。1つ前は 18、次は 55。
4×4の魔方陣の1列の和は34である。 1 から 16(=4^2)までの整数の和は 136 でありそれを4列で割ると1列あたり34になる。以下に例を示す。
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
原子番号 34 の元素はセレン (Se)

★第10コンティニウム、55モナド、81ソウル、29エルダ
55は合成数であり、約数は 1, 5, 11, 55 である。
19番目の半素数である。1つ前は51、次は57。
10番目のフィボナッチ数である。1つ前は34、次は89。
10番目の三角数である。55 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10。1つ前は45、次は66。
フィボナッチ数かつ三角数である数としては 1,3,21 の次に小さい。
5番目の七角数である。5(5 × 5 - 3) / 2 = 55。1つ前は34、次は81。
5番目の四角錐数である。55 = 1^2+ 2^2+ 3^2+ 4^2+ 5^2)。1つ前は30、次は91。
4番目のカプレカ数である。55^2 = 3025、30 + 25 = 55。1つ前は 45、次は 99。
1桁の数を除くと5番目の回文数であり、5が2つ並ぶゾロ目でもある。ゾロ目でかつ三角数でもある数は他に66と666しかないと予想されている。
1/55 = 0.018…(下線部は循環節。循環節の長さは 2 )
√3000に最も近い整数である。 √3000=54.77225・・・。 54^2=2916、55^2=3025
原子番号 55 の元素はセシウム(Cs)である。

★第11コンティニウム、89モナド、149ソウル、56エルダ
24番目の素数である。1つ前は83、次は97。
1/89 = 0.01123595505617977528089887640449438202247191 ...(下線部は循環節。89の逆数の循環節の長さは 44。)
n 番目のフィボナッチ数を Fn とすると  という関係になる。
289 - 1 = 618970019642690137449562111 は10番目のメルセンヌ素数である。
11番目のフィボナッチ数である。1つ前は 55、次は 144。
10番目のソフィー・ジェルマン素数である。89 × 2 + 1 = 179 もまた素数となる。1つ前は 83、次は 113。また、179 もソフィ・ジェルマン素数である。
原子番号 89 の元素はアクチニウム (Ac) である。

★第12コンティニウム、144モナド、274ソウル、108エルダ
144は合成数であり、約数は 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72 と 144 である。
1/144 = 0.00694…(下線部は循環節)
平方数であり、12^2。1つ前は121、次は169。
十二進数の100は、十進数では144となる。
いかなるN>4のN進数によって144を表記しても、144は必ず平方数となる。これは 1 × N^2 + 4 × N + 4 = (N + 2)^2 であるため。
144^5 = 27^5 + 84^5 + 110^5 + 133^5 (=61917364224)。これはオイラー予想の反例として発見された。
144 = (1 + 4 + 4)×(1 × 4 × 4) このような性質を持つ自然数は他に1と135のみである。
144はフィボナッチ数。ひとつ前は 89、次は 233。144(と1)はフィボナッチ数列の中の唯一の平方数である。また、√144番目(=12番目)にある。
9番目の高度トーティエント数。一つ前は72、次は240。
正十角形の内角は144°である。

■グランド・コンティニウム

★第13コンティニウム、233モナド、504ソウル、401エルダ 
233は51番目の素数である。一つ前は229であり,次は239。
13番目のフィボナッチ数である。前の数は144,次の数は377である。233より小さいフィボナッチ数で素数なのは2,3,5,13,89である。
16番目のソフィー・ジェルマン素数である。一つ前は191、次は239。

★第14コンティニウム、377モナド、927ソウル、773エルダ
377 は合成数であり、約数は1,13,29と377である。
14番目のフィボナッチ数である。前の数は233,次の数は610である。
118番目の半素数であり、一つ前は371、次は381。
377 = 2^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 11^2 + 13^2 であり、最初の6つの素数の二乗の総和に等しい。

★第15コンティニウム、610モナド、1705ソウル、1490エルダ
610は合成数であり、約数は 1 , 2 , 5 , 10 , 61 , 122 , 305 と 610 である。
15番目のフィボナッチ数である。一つ前は377、次は987。
76番目の楔数である。一つ前は609、次は615。

★第16コンティニウム、987モナド、3136ソウル、2872エルダ
987は合成数であり、約数は 1 , 3 , 7 , 21 , 47 , 141 , 329 , 987である。
16番目のフィボナッチ数である。一つ前は610、次は1597。

ウィキメディアから集めた 整数の情報ですが興味ある記載が沢山あります。時間を作って検討してみたいと思います。

よろしくお願いします。

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  編集後記
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